先看懂，
再记住。

先记住一句话：线性代数在研究“一批一次关系里，到底有多少有用信息，怎样把它们变得好理解、好计算”。

先不急着认矩阵，也不用先背定理。看两个你会解的方程：

$$\begin{cases}x+y=3,\\2x+2y=6.\end{cases}$$

第二句只是第一句乘2，没有告诉你新信息。所以它们看起来是两个方程，实际上只有一条独立限制：只知道两个人的钱加起来是3元，还不知道每个人各有多少。

把第二句改成 $x-y=1$：

$$\begin{cases}x+y=3,\\x-y=1.\end{cases}$$

这次第二句给了新信息：不仅知道总数，还知道差。相加得到 $2x=4$，所以 $x=2$；再代回得 $y=1$。两个未知数，有两条互不重复的信息，恰好能确定下来。

整门课会把这种想法推到几十个未知数、几十条关系。为了不把算式写乱，我们逐步引入六章工具。

六章为什么按这个顺序出现

一条线走完：判断信息有没有重复 → 把关系装进矩阵 → 看每列能否互相替代 → 用列拼目标并求系数 → 找只伸缩的方向 → 沿这些方向拆平方项。

这条线适合复习，不表示数学只能这样建立。我们沿用你的讲义章序，让已经学过的内容接得起来。

矩阵、向量、方程组：其实在说同一件事

先看一个具体乘法。矩阵中的每一列，暂时就理解为一列数：

$$A=\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix}.$$

第一列记作 $\alpha_1=(1,0)^T$，第二列记作 $\alpha_2=(2,1)^T$。上标 $T$ 叫转置；这里表示把横写的一组数竖着放。比如 $(1,0)^T$ 就是上面1、下面0。

用第一列的3倍加第二列的2倍：

$$3\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}+2\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}7\\2\end{pmatrix}.$$

同一件事，矩阵语言写成：

$$\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}7\\2\end{pmatrix}.$$

如果目标 $(7,2)^T$ 已知，而3与2不知道，就要反过来求“各列乘多少”。这就是解方程组。

推广到 $n$ 列，才得到全课常见的式子：

$$Ax=x_1\alpha_1+x_2\alpha_2+\cdots+x_n\alpha_n=\beta.$$

逐个对号：$A$ 是把各列并排放成的矩阵；$\alpha_i$ 是第 $i$ 列；$x_i$ 是这一列要乘的系数；$\beta$ 是想拼出的目标向量。

因此，“算 $Ax$”“用列向量拼目标”“解 $Ax=\beta$”，只是这件事的三个说法。后面遇到陌生题目，先想能否把它翻译回这句话。

第一次读，符号不用一次背完

不用在开篇就理解后面所有概念。先进入第一章；遇到新符号时，对照本节和它所在小节的解释就够了。

核心问题：这个方阵有没有把不同方向压到一起

先看两个最简单的数表。把它们的两列画成从原点出发的箭头：

$$A=\begin{pmatrix}1&0\\0&2\end{pmatrix}.$$

它的两列是向右的 $(1,0)^T$、向上的 $(0,2)^T$，围成面积为2的长方形。

$$B=\begin{pmatrix}1&2\\0&0\end{pmatrix}.$$

它的两列 $(1,0)^T$、$(2,0)^T$ 都沿水平方向，围不出面积。于是我们希望有一个数，快速分辨“还保留着两个方向”还是“已经压成一条线”。这就是行列式要解决的第一个问题。

二阶的计算规则是“主对角乘积减副对角乘积”：

$$\left|\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right|=ad-bc.$$

所以 $|A|=2$、$|B|=0$。$|A|$ 读作“矩阵 $A$ 的行列式”，不是逐个元素取绝对值。行列式的绝对值是两列围成的面积；正负号还记录两列的有向次序。三阶对应有向体积。

先记住本章的任务：把一个方阵压缩成一个数，用这个数判断它是否丢失了独立方向，并学会高效计算这个数。至于丢了几个方向，行列式还答不出来，第二章才引入“秩”细分。

来源：强化1·PDF第1—3页。

核心概念：矩阵是数表，行列式是按规则算出的数

例如 $A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$ 是一个矩阵，而 $|A|=1\times4-2\times3=-2$ 是一个数。矩阵可以长方形；本课行列式只对方阵定义。一个 $n$ 阶方阵有 $n$ 行、$n$ 列。

一般阶数怎样计算？先学会给乘积项判正负。

先看排列 $(2,3,1)$。从左往右比较：2在1前面且2大于1，构成一个“逆序对”；3在1前面且3大于1，又构成一个。共2个，所以逆序数 $\tau(2,3,1)=2$。2为偶数，这个排列对应正号。排列 $(2,1,3)$ 只有 $(2,1)$ 一个逆序对，对应负号。

“排列”就是把 $1,2,\ldots,n$ 换一种顺序排好；$\tau$ 记录逆序对的个数。设 $a_{ij}$ 表示第 $i$ 行、第 $j$ 列的元素，则正式定义为

$$\boxed{|A|=\sum_{(j_1,\ldots,j_n)}(-1)^{\tau(j_1,\ldots,j_n)}a_{1j_1}\cdots a_{nj_n}}.\tag{1-1}$$

这里的 $\sum$ 是“把后面的项全部相加”；下标要求 $(j_1,\ldots,j_n)$ 取遍 $1,\ldots,n$ 的所有排列。每一项从每行、每列各取一个数相乘，不能重复行或重复列。一共有 $n!$ 项，例如三阶有 $3!=3\times2\times1=6$ 项。

三阶把式 (1-1) 全部展开，就是下面的“三正三负”：

$$\begin{aligned} |A|={}&a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}\\ &-\bigl(a_{13}a_{22}a_{31}+a_{11}a_{23}a_{32}+a_{12}a_{21}a_{33}\bigr). \end{aligned}$$

例如 $a_{12}a_{23}a_{31}$ 的列下标是 $(2,3,1)$，逆序数2，所以前面是正号。这个定义主要用于找某个乘积项的符号、判断含参数多项式的次数与系数。高阶数值题通常应消元，没必要真写出 $n!$ 项。三阶对角线法只适用于三阶，不能推广到四阶。

来源：强化1·PDF第2—3页。

关键定理：行列式怎样随着一行的改变而改变

先用二阶验一次最常用的“倍加不变”：

$$\left|\begin{matrix}1&2\\3&4\end{matrix}\right|=-2.$$

第2行减去第1行的3倍，得到

$$\left|\begin{matrix}1&2\\0&-2\end{matrix}\right|=-2.$$

我们为什么想做这一步？因为造出0后，计算更短。为什么允许？因为把一行的若干倍加到另一行，行列式的值不变。后面所有消元计算都要带着这个理由。

表中“行”可全部换成“列”。其中“沿一行拆”要保持其他行不变。例如

$$\left|\begin{matrix}a+b&c+d\\u&v\end{matrix}\right| =\left|\begin{matrix}a&c\\u&v\end{matrix}\right| +\left|\begin{matrix}b&d\\u&v\end{matrix}\right|.$$

它不是说整个矩阵都能拆。若把一个 $n$ 阶矩阵整体乘 $k$，每行都乘了一次，因此

$$|kA|=k^n|A|.$$

若把 $A+B$ 的每行都拆开，会出现许多“有的行来自 $A$、有的行来自 $B$”的混合项，所以一般 $|A+B|\ne|A|+|B|$。例如 $A=B=E_2$ 时，左边为 $|2E_2|=4$，右边只有2。

来源：强化1·PDF第3—4页；强化2·PDF第5页。

核心概念与关键定理：余子式把高阶问题降一阶

看这个三阶行列式：

$$D=\left|\begin{matrix}1&2&0\\0&3&4\\5&0&6\end{matrix}\right|.$$

若选择第一行的元素2，就不能再选它所在的第1行、第2列。删去这行这列，剩下

$$M_{12}=\left|\begin{matrix}0&4\\5&6\end{matrix}\right|=-20.$$

这叫元素 $a_{12}$ 的余子式。为了配上原行列式要求的正负号，还要乘 $(-1)^{1+2}=-1$，得到代数余子式 $A_{12}=20$。一般写为

$$A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}.$$

注意三个符号：$a_{ij}$ 是原来的一个数；$M_{ij}$ 是删行删列后算出的行列式；$A_{ij}$ 是带位置符号的余子式。位置正负号排成棋盘：第一行为“正、负、正……”，第二行反过来。

为什么引入余子式？因为它允许按任意一行或一列，把 $n$ 阶行列式降成 $(n-1)$ 阶。按第 $i$ 行展开的公式是

$$\boxed{|A|=\sum_{j=1}^{n}a_{ij}A_{ij}}.\tag{1-2}$$

三阶时，$\sum$ 具体就是三项：

$$|A|=a_{i1}A_{i1}+a_{i2}A_{i2}+a_{i3}A_{i3}.$$

按第 $j$ 列展开则是

$$|A|=\sum_{i=1}^n a_{ij}A_{ij}.$$

三阶具体为 $|A|=a_{1j}A_{1j}+a_{2j}A_{2j}+a_{3j}A_{3j}$。行展开固定行下标 $i$，列展开固定列下标 $j$，不要把两种求和范围混在一起。

于是上面的例子沿第一行展开：

$$D=1\times18+2\times20+0\times A_{13}=58.$$

为什么成立？把式 (1-1) 的所有乘积按“第 $i$ 行选了第几列”分组。选中 $a_{ij}$ 的那一组，剩余部分恰好组成 $M_{ij}$，而原位置搬动产生的符号就是 $(-1)^{i+j}$。因此所有组加起来就是式 (1-2)。计算时优先选0最多的行或列。

还有一个同样重要的结论：本行元素与另一行的代数余子式“错配”，结果为0。例如三阶的第1行配第2行：

$$a_{11}A_{21}+a_{12}A_{22}+a_{13}A_{23}=0.$$

一般式为

$$\sum_{j=1}^{n}a_{ij}A_{kj}=0\qquad(i\ne k).$$

错列配对也有 $\sum_{i=1}^n a_{ij}A_{ik}=0$（$j\ne k$）；三阶就是 $a_{1j}A_{1k}+a_{2j}A_{2k}+a_{3j}A_{3k}=0$。

理由是：把原第 $k$ 行替换成第 $i$ 行，新行列式有两行相同，必为0；再按被替换的第 $k$ 行展开即可。同配得 $|A|$，错配得0，第二章会把它装成一个矩阵恒等式。

另一个容易忽略的细节：计算 $A_{ij}$ 时，第 $i$ 行、第 $j$ 列已经删掉了，所以只改变这两条线上的元素，不会改变这个 $A_{ij}$。

来源：强化1·PDF第4—5、7页。

典型题型：余子式线性和，反过来“拼回一个行列式”

仍以上节的三阶矩阵为例。若要求 $2A_{11}-A_{12}+3A_{13}$，你已认识式 (1-2)，就应想到：这正像按第一行展开，只是第一行的系数换成了 $(2,-1,3)$。

$$2A_{11}-A_{12}+3A_{13} =\left|\begin{matrix}2&-1&3\\0&3&4\\5&0&6\end{matrix}\right|.$$

为什么允许换第一行？因为第一行的各个余子式不含第一行本身，换完后仍是原来的 $A_{11},A_{12},A_{13}$。通法就是：认出配的是哪一行的代数余子式 → 用系数替换那一行 → 按这行展开。列版本完全相同。

若要求一行余子式的和，替换行就是 $(1,1,\ldots,1)$；若问对角代数余子式和，不能随便换一行，第二章要用伴随矩阵的迹；若问全体代数余子式之和，可逐行替换为全1行后相加，或装进伴随矩阵统一处理。讲义还把这类题与逆矩阵、行和、特征值联动：先学会“拼回行列式”，后续再接上新工具。

来源：强化1·PDF第7—10页。

典型题型：先认结构，再选择消元或展开

主对角三角式与副对角三角式。例如上三角三阶行列式直接等于 $a_{11}a_{22}a_{33}$。若是沿右上到左下的副对角形成三角结构，先把列次序倒过来；三阶要交换3次，所以多一个负号。一般式为

$$(-1)^{n(n-1)/2}a_{1n}a_{2,n-1}\cdots a_{n1}.$$

例如三阶就是 $-a_{13}a_{22}a_{31}$。先确认副对角一侧确实全为0，不能只看到一条斜线就套公式。

范德蒙德：每列都是同一个数的连续幂。先看三阶 $x_1=1,x_2=2,x_3=3$：

$$\left|\begin{matrix}1&1&1\\1&2&3\\1&4&9\end{matrix}\right|=(2-1)(3-1)(3-2)=2.$$

一般公式是

$$\left|\begin{matrix}1&1&\cdots&1\\x_1&x_2&\cdots&x_n\\\vdots&\vdots&&\vdots\\x_1^{n-1}&x_2^{n-1}&\cdots&x_n^{n-1}\end{matrix}\right| =\prod_{1\le i<j\le n}(x_j-x_i).$$

这里 $\prod$ 表示“把指定因子全部相乘”。紧跟着把小阶展开：

$$n=2:\quad x_2-x_1.$$

$$n=3:\quad(x_2-x_1)(x_3-x_1)(x_3-x_2).$$

共有 $n(n-1)/2$ 个因子，每个因子都是“下标大的 $x$ 减下标小的 $x$”，不是按数值大小做减法，结果完全可能为负。为什么一定含这些差？任意两个 $x$ 相等就出现相同列，故行列式为0，必含相应差因子；因子的总次数已经用完，再比较一个最高次项，系数就是1。

行和相等：先把共同的一大项集中到一列。三阶例子：

$$D=\left|\begin{matrix}x&a&a\\a&x&a\\a&a&x\end{matrix}\right|.$$

把第2、3列都加到第1列，第1列变成 $(x+2a,x+2a,x+2a)^T$。提出 $x+2a$ 后，第2、3行分别减第1行，就得到对角为 $1,x-a,x-a$ 的三角式。所以 $D=(x+2a)(x-a)^2$。同样的操作给出

$$D_n=[x+(n-1)a](x-a)^{n-1}.$$

提出公因子是乘法等式，因子等于0时仍成立；只有“除以这个因子”才要另查非零条件。定义全1列向量 $\boldsymbol1=(1,1,\ldots,1)^T$，矩阵每行和为 $s$ 就可简写成 $A\boldsymbol1=s\boldsymbol1$。现在把它理解为每行分别乘全1列后得到 $s$；第五章再解释它为什么直接提供特征值。

爪型：除了一行一列，其余接近对角。先看4阶的轮廓：

$$D=\left|\begin{matrix} a_0&b_1&b_2&b_3\\ c_1&a_1&0&0\\ c_2&0&a_2&0\\ c_3&0&0&a_3 \end{matrix}\right|.$$

只有两类非零乘积：全取对角元；或用一个 $b_i$ 和对应的 $c_i$ 换掉两处对角元。一般 $m+1$ 阶公式为

$$D=a_0\prod_{i=1}^{m}a_i-\sum_{i=1}^{m}b_ic_i\prod_{j\ne i}a_j.$$

在 $m=3$ 时，展开得

$$\begin{aligned} D={}&a_0a_1a_2a_3-b_1c_1a_2a_3\\ &-b_2c_2a_1a_3-b_3c_3a_1a_2. \end{aligned}$$

例如 $i=2$ 时，$\prod_{j\ne2}a_j=a_1a_3$，就是跳过 $a_2$ 的乘积。每个“爪”贡献 $-b_ic_i$，再乘其余对角元。这个公式无除法，某个 $a_i=0$ 仍适用；若自己通过除以 $a_i$ 消元，则必须先讨论 $a_i=0$。

点斜型：先用相减，把“差不多相同的行”变稀疏。讲义的典型数表是对角 $1+a_i$、其余全1，例如三阶

$$D=\left|\begin{matrix}1+a_1&1&1\\1&1+a_2&1\\1&1&1+a_3\end{matrix}\right|.$$

第2、3行减第1行，会让许多1互相抵消，接近爪型。若 $a_1,a_2,a_3\ne0$，继续消元得到

$$D=a_1a_2a_3\left(1+\frac1{a_1}+\frac1{a_2}+\frac1{a_3}\right).$$

展开后是 $a_1a_2a_3+a_2a_3+a_1a_3+a_1a_2$，这个无除法形式在某个 $a_i=0$ 时也成立。取 $a_1=1,a_2=2,a_3=3$，便得 $D=6+6+3+2=17$。一般非零参数时为

$$D=\left(\prod_{i=1}^n a_i\right)\left(1+\sum_{i=1}^n\frac1{a_i}\right).$$

小阶的“连乘”和“求和”就是上面的三阶展开，切勿只背一个紧凑符号。

来源：强化1·PDF第5、10—12页；强化2·PDF第1—2页。

继续看：分块三角、拉普拉斯展开与稀疏计算

“分块”就是给一个大矩阵划线，把几块小矩阵暂当整体。先看普通三角的2阶结论 $\left|\begin{smallmatrix}a&c\\0&b\end{smallmatrix}\right|=ab$。若把 $a,b$ 换成方阵 $A,B$，另一侧依旧是整块零，就有

$$\left|\begin{matrix}A&C\\O&B\end{matrix}\right|=|A||B|.$$

$$\left|\begin{matrix}A&O\\C&B\end{matrix}\right|=|A||B|.$$

原因仍是不同行不同列取数：若上面几行用了右边的列，下面几行就会被迫取左下零块，因此非零项只能各自在对角块内选完。$A$ 为 $m$ 阶、$B$ 为 $n$ 阶时，副对角分块需把两整组列互换，发生 $mn$ 次单列交换，故

$$\left|\begin{matrix}C&A\\B&O\end{matrix}\right|=(-1)^{mn}|A||B|.$$

注意分块的行、列尺寸必须相容。一般四块都非零时，不能照搬二阶的“$ad-bc$”。左上块 $A$ 可逆时，可以做“下面块行减去上面块行左乘 $CA^{-1}$”，得到

$$\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix} \longrightarrow\begin{pmatrix}A&B\\O&D-CA^{-1}B\end{pmatrix}.$$

所以该行列式为 $|A|\,|D-CA^{-1}B|$；乘法次序由消元动作决定，不能改成 $A^{-1}CB$。

拉普拉斯展开是按一行展开的推广：同时选择 $k$ 行，把这几行取到的 $k$ 阶子式，与剩余行列形成的余子式相乘，再依位置配正负号。初学可先用它的直观版本：稀疏结构使许多列组合为0，只剩一两组需要算。例如讲义的

$$D=\left|\begin{matrix}0&a&b&0\\a&0&0&b\\0&c&d&0\\c&0&0&d\end{matrix}\right|.$$

交换第2、3行后，前两行只在第2、3列有数，后两行只在第1、4列有数；再把列排为第2、3、1、4列。行交换带来负号，列重排为偶排列，所以

$$D=-\left|\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right|^2=-(ad-bc)^2.$$

这既可看作拉普拉斯稀疏展开，也可看作交换后分块计算。路线应选自己最能解释清楚的一条。

来源：强化1·PDF第5、11页；强化2·PDF第5页。

继续看：三线行列式为什么能改成递推数列

“三线”指主对角、上副对角、下副对角三条线上可能非零，其余位置为0。先看前三阶：

$$D_1=a,\qquad D_2=a^2-bc.$$

$$D_3=\left|\begin{matrix}a&b&0\\c&a&b\\0&c&a\end{matrix}\right|=a(a^2-bc)-bc\,a.$$

按第一行展开时，第一项是 $a$ 乘一个少一阶的同型行列式；第二项再沿稀疏列展开，变成 $-bc$ 乘一个少两阶的同型行列式。因此设 $D_0=1$ 后，得到

$$\boxed{D_n=aD_{n-1}-bcD_{n-2}}.\tag{1-3}$$

为什么想到递推？每次展开后出现的仍是同一外形，区别只在阶数。这就把“每个阶数重新算”改成“前两项生成下一项”。步骤固定为：展开找递推 → 算初值 → 解递推 → 代回小阶验符号。

讲义例：主对角 $2a$、上副对角1、下副对角 $a^2$，所以

$$D_n=2aD_{n-1}-a^2D_{n-2},\qquad D_0=1,\ D_1=2a.$$

当 $a\ne0$，除以 $a^n$，记 $u_n=D_n/a^n$，就变成 $u_n=2u_{n-1}-u_{n-2}$。移项得 $u_n-u_{n-1}=u_{n-1}-u_{n-2}$，即相邻差恒定。由 $u_0=1,u_1=2$ 得 $u_n=n+1$，从而

$$D_n=(n+1)a^n.$$

当 $a=0$，原矩阵是严格上三角，$n\ge1$ 时行列式为0，也符合这个结果。这里先分类，是为了保证“除以 $a^n$”合法。

两种递推工具也要认识：

1. $D_n=uD_{n-1}+v$：若 $u\ne1$，取 $c=v/(u-1)$，变成 $D_n+c=u(D_{n-1}+c)$，再用等比数列；若 $u=1$，直接是等差递推。
2. $D_n=uD_{n-1}+vD_{n-2}$：解 $t^2-ut-v=0$。两根 $t_1,t_2$ 不同时，写 $D_n=C_1t_1^n+C_2t_2^n$；非零重根 $t$ 时，写 $D_n=(C_1+C_2n)t^n$，最后用初值求常数。零重根要回原递推直接判断，不能机械套带零指数的表达式。

循环稀疏式也是先展开，找它与前几阶的关系，再处理递推；不要因为外观像三线就直接套式 (1-3)。

来源：强化2·PDF第1—4页。

应用：克拉默法则，行列式不为0时直接求未知量

先看两元方程组：

$$\begin{cases}x_1+2x_2=5,\\3x_1+4x_2=11.\end{cases}$$

系数行列式 $D=1\times4-2\times3=-2\ne0$。求 $x_1$，就把第1列换成右端 $(5,11)^T$：

$$D_1=\left|\begin{matrix}5&2\\11&4\end{matrix}\right|=-2,\qquad x_1=D_1/D=1.$$

求 $x_2$，换第2列，得到 $D_2=-4$，所以 $x_2=2$。要求哪个未知量，就替换它对应的那一列，不能替换行。

将方程组简写成 $Ax=\beta$：$A$ 是 $n$ 阶系数方阵，$x$ 是未知数列，$\beta$ 是已知右端列。若 $D=|A|\ne0$，记 $D_i$ 为第 $i$ 列换成 $\beta$ 后的行列式，则

$$\boxed{x_i=\frac{D_i}{D}\qquad(i=1,\ldots,n)}.\tag{1-4}$$

为什么这个比值会给出解？把 $A$ 的列暂记为 $\alpha_1,\ldots,\alpha_n$，原方程就是说 $\beta=x_1\alpha_1+\cdots+x_n\alpha_n$。将替换列按线性性拆开，除了 $x_i\alpha_i$ 那项，其余每项都出现重复列，为0。所以 $D_i=x_iD$，再除以已知非零的 $D$，才得到式 (1-4)。

它尤其适合只求一个未知量。若 $\beta=0$，同样适用，且立即得到唯一零解。若 $D=0$，不能使用比值，也不能直接断言无解。例如 $x_1+x_2=1$ 与 $2x_1+2x_2=2$ 有无穷多解；把第二个右端改成3就无解。二者系数行列式都为0，要留给方程组章用秩区分。

来源：强化2·PDF第3—4页。

章末方法与公式速查：计算先找0，抽象题先找乘积

来源：强化1·PDF第6—10页；强化2·PDF第5—8页。

顺着背的一条链。先从“每行每列各取一个”背式 (1-1)：只有这样各方向才各参与一次；所以交换变号、单行倍乘提因子、倍加不变。想把高阶算短，就引入余子式与式 (1-2)；同配得到原行列式，错配出现重复行列而得0。再把“按列拆分”用于替换列，得到 $D_i=x_iD$，当 $D\ne0$ 才能除法得到式 (1-4)。遇到结构型先造0；降阶仍同型时，再进入递推式 (1-3)。

与下一章的联系

本章已经有两件工具：“同配得 $|A|$、错配得0”，以及“$|A|\ne0$ 时方程组唯一可解”。下一章把前者装成伴随矩阵，解释怎样求逆；再用初等变换与秩回答行列式为0时还保留多少信息、长方形矩阵怎样研究。因此章节顺序是从“判断一个数”进入“直接操作整个数表”。

核心问题：把一串线性计算写成整体，并可靠地化简

先看两次计算：

$$\begin{cases}y_1=x_1+2x_2,\\y_2=3x_1+4x_2.\end{cases}$$

共同的系数可排成矩阵，整组计算缩写为

$$\begin{pmatrix}y_1\\y_2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix}.$$

矩阵不是凭空规定的一套符号，它把“许多输出都依赖同一批输入”的计算放到一起。把上式按列重新看，又是

$$\begin{pmatrix}y_1\\y_2\end{pmatrix} =x_1\begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix} +x_2\begin{pmatrix}2\\4\end{pmatrix}.$$

矩阵乘列向量，就是按输入分量给各列加权，再相加。一般记 $A=(\alpha_1,\ldots,\alpha_n)$，得到全课最值得看懂的一个式子：

$$\boxed{Ax=x_1\alpha_1+\cdots+x_n\alpha_n}.\tag{2-1}$$

右边等于指定目标 $\beta$，就是方程组；问这些列能不能互相替代，就是向量章；问某些非零 $x$ 经过运算只伸缩不转向，就是特征值章。矩阵章先提供这些问题共同需要的运算、求逆和消元工具。

来源：强化2·PDF第7—9页。

核心概念：乘法是“先做右边，再做左边”

例如先把 $(x_1,x_2)^T$ 的第1分量加倍，再交换两分量，两个矩阵是

$$B=\begin{pmatrix}2&0\\0&1\end{pmatrix}.$$

$$A=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}.$$

先 $B$ 后 $A$，得到 $A(Bx)=(x_2,2x_1)^T$；反过来则是 $B(Ax)=(2x_2,x_1)^T$，通常不同。因此矩阵乘法有先后顺序，一般不能交换。

设 $A$ 为 $m\times n$、$B$ 为 $n\times p$，中间尺寸 $n$ 相等才能相乘，结果 $AB$ 为 $m\times p$。“$m\times n$”读作 $m$ 行、$n$ 列。乘积第 $i$ 行、第 $j$ 列的元素为

$$\boxed{(AB)_{ij}=\sum_{k=1}^{n}a_{ik}b_{kj}}.\tag{2-2}$$

若内侧尺寸 $n=3$，这句话具体就是

$$(AB)_{ij}=a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+a_{i3}b_{3j}.$$

为什么按“行乘列再相加”？因为要让 $A(Bx)=(AB)x$：先把每个中间结果 $Bx$ 代进 $A$ 的线性计算，对每个输入收集系数，就正好得到式 (2-2)。这也给出结合律与分配律。

矩阵相等要求同型、对应元素相等；相加要求同型；数乘是每个元素同乘一个数。只有方阵才能连续乘自己，记为 $A^k$，约定 $A^0=E$。

把运算律排成一组，背诵时分清“哪些像数，哪里开始不像数”。下式各次运算均要求尺寸相容，$k,l$ 为数：

$$\begin{aligned} A+B&=B+A,\\ (A+B)+C&=A+(B+C),\\ k(A+B)&=kA+kB,\\ (k+l)A&=kA+lA,\\ k(lA)&=(kl)A. \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} (AB)C&=A(BC),\\ A(B+C)&=AB+AC,\\ (A+B)C&=AC+BC,\\ k(AB)&=(kA)B=A(kB). \end{aligned}$$

例如 $A(B+C)=AB+AC$ 只是把 $A$ 依次乘到两个加项，始终站在左边，不允许写成 $BA+CA$。同一个方阵的幂还满足

$$A^pA^q=A^{p+q},\qquad (A^p)^q=A^{pq}\qquad(p,q\text{为非负整数}).$$

前一条是把两串相同的 $A$ 接起来数个数，后一条是 $p$ 个 $A$ 为一组再重复 $q$ 组。

按列计算还能得到：若 $B=(\beta_1,\ldots,\beta_p)$，则

$$AB=(A\beta_1,\ldots,A\beta_p).$$

例如 $p=2$ 就是 $AB=(A\beta_1,A\beta_2)$，每一列单独经过 $A$。同维列向量都可以并排拼成矩阵，不要求无关；无关是后面判断秩与可逆的条件。

来源：强化2·PDF第8—9页。

核心概念：转置、迹和常见特殊矩阵

先看转置：$A=\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\end{pmatrix}$ 的行变成列后是

$$A^T=\begin{pmatrix}1&4\\2&5\\3&6\end{pmatrix}.$$

上标 $T$ 就表示这个动作。乘积转置必须反序：

$$\boxed{(AB)^T=B^TA^T}.\tag{2-3}$$

原因可按元素核对：左边第 $(i,j)$ 元是 $a_{j1}b_{1i}+a_{j2}b_{2i}+\cdots$，正好是 $B^T$ 第 $i$ 行与 $A^T$ 第 $j$ 列相乘的结果。

再看迹：$\operatorname{tr}A$ 是方阵主对角元的和。三阶为 $a_{11}+a_{22}+a_{33}$，通式为 $\operatorname{tr}A=\sum_{i=1}^na_{ii}$。例如 $A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$ 的迹是5。

迹的常用性质是 $\operatorname{tr}(AB)=\operatorname{tr}(BA)$。二阶展开可直接看出：

$$\operatorname{tr}(AB)=a_{11}b_{11}+a_{12}b_{21}+a_{21}b_{12}+a_{22}b_{22}.$$

$$\operatorname{tr}(BA)=b_{11}a_{11}+b_{12}a_{21}+b_{21}a_{12}+b_{22}a_{22}.$$

两边相加的四项相同。一般式是 $\sum_{i,j}a_{ij}b_{ji}$ 换求和次序，双重求和就是把所有合法的 $i,j$ 配对都加起来。迹相等不表示 $AB=BA$。长方形 $A,B$ 只要两种乘积都有定义，此迹性质也成立。

同阶方阵还可逐个对角元相加，直接得到 $\operatorname{tr}(A+B)=\operatorname{tr}A+\operatorname{tr}B$、$\operatorname{tr}(kA)=k\operatorname{tr}A$、$\operatorname{tr}(A^T)=\operatorname{tr}A$。

常见名字都在提示结构，先认最简单的样子：

对角阵的详细公式是

$$D^k=\operatorname{diag}(d_1^k,\ldots,d_n^k).$$

所有 $d_i\ne0$ 时才可逆，逆的对角元是 $1/d_i$。上、下三角阵可逆也等价于对角元全非零；第五章会解释其特征值就是对角元。

若 $A,B$ 都对称，则 $(AB)^T=BA$，所以 $AB$ 对称当且仅当 $AB=BA$；和则总保持对称。任意实方阵都能拆为

$$A=\frac{A+A^T}{2}+\frac{A-A^T}{2},$$

第一块对称，第二块反对称，直接转置可验。反对称阵奇数阶时 $|A|=|A^T|=|-A|=-|A|$，故行列式为0。

正交矩阵的公式先认识为

$$Q^TQ=E,\qquad Q^{-1}=Q^T,\qquad |Q|=\pm1.$$

因它是方阵，$Q^TQ=E$ 也给出 $QQ^T=E$，所以行向量、列向量都各自长度为1且两两垂直。行列式性质给出 $|Q|^2=1$，故 $|Q|=\pm1$。若 $Q_1,Q_2$ 都正交，$(Q_1Q_2)^T(Q_1Q_2)=Q_2^TQ_1^TQ_1Q_2=E$，所以乘积仍正交；转置、逆也仍正交。

内积、长度和正交化的计算放在第五章首次真正需要时细讲。正交不要求对称，也不要求元素非负。置换阵是正交阵，所以逆为转置、行列式为 $\pm1$，其伴随为行列式乘逆。

来源：强化2·PDF第8—11页；强化4·PDF第5页；正交矩阵联系强化9·PDF第5—8页。

继续看：反对称阵的一条二次式性质

在二阶例子中，直接相乘得

$$\begin{pmatrix}x_1&x_2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}0&a\\-a&0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix} =ax_1x_2-ax_2x_1=0.$$

一般反对称阵也有 $x^TAx=0$：这个结果是一个数，转置不改变它，而转置计算又给出 $x^TA^Tx=-x^TAx$，故它只能为0。$x^TAx$ 就是第六章要正式研究的二次式；现在只把它看成按顺序完成的三次矩阵乘法。

易错边界：非零矩阵也不能随意约掉

取

$$A=\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}.$$

$$B=\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}.$$

二者都非零，但 $AB=O$。原因很直观：$B$ 只留下第2分量，$A$ 又恰好把第2分量消掉，最后什么都不剩。因此不能从 $AB=O$ 推出某个因子为零，也不能从 $AB=AC$ 与 $A\ne O$ 推出 $B=C$。需要“可逆”或适当方向的“满秩”条件，后面会给出。

还要区分 $A\ne O$ 和 $|A|\ne0$：上例 $A$ 非零，但行列式为0；前者只说至少一个元素非零，后者说全部方向都没丢。

若 $AB$ 不交换，展开平方只能写

$$(A+B)^2=A^2+AB+BA+B^2.$$

只有已知 $AB=BA$，才可合成 $2AB$，并使用普通二项式以及 $(AB)^k=A^kB^k$。$A$ 与 $E$、与自身的多项式天然交换；与 $A^{-1}$（若存在）、伴随 $A^*$ 也交换，后者马上解释。

来源：强化2·PDF第8—10页；强化3·PDF第9—10页。

核心概念与关键定理：逆矩阵是“能把计算倒回去”

矩阵 $A=\operatorname{diag}(2,3)$ 把输入变成 $(2x_1,3x_2)^T$。要还原，只需再乘 $\operatorname{diag}(1/2,1/3)$。两个顺序乘回去都得到 $E$，后者就是 $A$ 的逆。

一般地，若同阶方阵 $B$ 满足 $AB=BA=E$，称 $A$ 可逆，唯一的这个 $B$ 记为 $A^{-1}$。唯一性也能算出来：若 $B,C$ 都是逆，则 $B=B(AC)=(BA)C=C$。

逆矩阵解决统一恢复输入的问题：$Ax=\beta$ 两边左乘 $A^{-1}$，得到 $x=A^{-1}\beta$。若两个不同输入已经被 $A$ 压成相同结果，就无从恢复，所以不可逆。对同阶方阵，验证 $AB=E$ 一侧已足够，后面的秩工具会说明；长方形的一侧逆不能直接推广成两侧逆。

怎样判断与求逆？第一章余子式提供一种总包装。把所有代数余子式组成的矩阵再转置，得到伴随矩阵

$$A^*=(A_{ji})_{n\times n}.$$

本手册 $A^*$ 专指伴随矩阵，不是共轭转置。例如二阶

$$A^*=\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix} \quad\text{对应}\quad A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}.$$

为什么非要转置？看乘积 $AA^*$ 的第 $i$ 行、第 $k$ 列，它恰好是 $a_{i1}A_{k1}+a_{i2}A_{k2}+\cdots$。本行同配时为 $|A|$，错配时为0，正是第一章的展开式。因此

$$\boxed{AA^*=A^*A=|A|E}.\tag{2-4}$$

若 $|A|\ne0$，两边除以这个数就得到逆；若 $A$ 已可逆，对 $AA^{-1}=E$ 取行列式，又有 $|A||A^{-1}|=1$，所以 $|A|$ 不能为0。两头合在一起：

$$\boxed{A\text{可逆}\iff |A|\ne0}.\tag{2-5}$$

$$\boxed{A^{-1}=\frac{A^*}{|A|}\quad(|A|\ne0)}.\tag{2-6}$$

二阶时具体写成

$$A^{-1}=\frac1{ad-bc}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}\qquad(ad-bc\ne0).$$

伴随本身对不可逆矩阵也有定义；只是 $A^*=|A|A^{-1}$ 这条改写只允许在可逆时使用。

来源：强化1·PDF第7页；强化2·PDF第10页。

典型题型：伴随怎样处理对角和、全体和、一列代数余子式和

先取第一章学过的行和相等矩阵

$$A=\begin{pmatrix}3&1&1\\1&3&1\\1&1&3\end{pmatrix}.$$

每行和为5，按第一章的公式 $|A|=(3+2)(3-1)^2=20$。每个对角代数余子式都是 $3\times3-1\times1=8$，所以对角代数余子式和为24；它正好是伴随矩阵的迹 $\operatorname{tr}(A^*)$。对角和只加对角位置，别和全体元素和混淆。

若想算某一列的代数余子式和，可把行和条件写为 $A\boldsymbol1=5\boldsymbol1$，左乘 $A^*$：

$$20\boldsymbol1=5A^*\boldsymbol1.$$

除以非零的5，得到 $A^*\boldsymbol1=4\boldsymbol1$。左边逐行求 $A^*$ 的元素和，但 $A^*$ 已把余子式表转置，因此得到的是原矩阵每一列的代数余子式和均为4。共有3列，全体和就是12。

一般地，若 $A\boldsymbol1=s\boldsymbol1$ 且 $s\ne0$，由式 (2-4) 得到

$$A^*\boldsymbol1=\frac{|A|}{s}\boldsymbol1.$$

这时原矩阵每列的代数余子式和为 $|A|/s$，全体和为 $n|A|/s$。若共同的是列和，对 $A^T$ 使用同一过程，可得到每行代数余子式和。若 $s=0$，不允许除以 $s$，必须回到原来的伴随等式与消元条件讨论。

如果题目没有行列和结构，仍可记住三个对应：一行或一列的线性和，用替换行列展开；对角和，用 $\operatorname{tr}(A^*)$；全体和，可写为 $\boldsymbol1^TA^*\boldsymbol1$。全1向量的左右相乘就是把所有位置加一遍，伴随中的转置不改变全体和。

来源：强化1·PDF第8—11页。

核心概念与通法：初等行变换为什么能放心消元

例如方程组的第2个方程减去第1个方程的3倍，解不会变；想还原，再加回3倍就行。矩阵里的相同动作叫初等行变换。一共有三种：

1. 交换两行；
2. 一行乘非零数；
3. 一行加上另一行的若干倍。

它们都可倒回去，所以不丢信息。第二条限定非零，正因为乘0后就恢复不了。列变换有完全对应的三种。

先看小矩阵

$$P=\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix}.$$

左乘 $PA$，使 $A$ 的第1行加上第2行的2倍；右乘 $AP$，却使第2列加上第1列的2倍。左乘管行，右乘管列，而且倍加的目标编号会换角色。这是很多初等矩阵题的失分点。

把单位阵做一次初等变换所得矩阵，叫初等矩阵。交换阵的逆为自身，倍乘阵将非零 $k$ 换成 $1/k$，倍加阵将 $k$ 换成 $-k$；它们的行列式分别为 $-1,k,1$。

若用 $e_i$ 表示第 $i$ 个分量为1、其余为0的列，则一般倍加阵为 $E_{ij}(k)=E+ke_ie_j^T$（$i\ne j$）。它左乘时是第 $i$ 行加 $k$ 倍第 $j$ 行；右乘时是第 $j$ 列加 $k$ 倍第 $i$ 列。$P^{-1}AP$ 一类算式，应先认右边对列做什么，再认左边对行做什么，乘法先后要保留。

解方程以行变换为主：交换方程、非零倍乘方程、方程之间倍加均保持原未知数的解。列变换会混合未知量的角色，不能只改系数列、不追踪未知量。求秩只数信息量，行列变换都可用；找原列之间的关系则仍应用行变换。

来源：强化3·PDF第5—6页。

典型题型：增广矩阵求逆，右边记录你做过的全部操作

先算一个完整二阶例子。用竖线把 $A$ 与单位阵并排：

$$[A\mid E]=\left(\begin{array}{cc|cc}1&2&1&0\\3&4&0&1\end{array}\right).$$

第2行减第1行的3倍：

$$\longrightarrow\left(\begin{array}{cc|cc}1&2&1&0\\0&-2&-3&1\end{array}\right).$$

第2行乘 $-1/2$，再第1行减第2行的2倍：

$$\longrightarrow\left(\begin{array}{cc|cc}1&0&-2&1\\0&1&3/2&-1/2\end{array}\right).$$

左边已经是 $E$，右边就是 $A^{-1}$。为什么？设全部行变换合起来等于左乘 $P$，那么左边 $PA=E$，故 $P=A^{-1}$；右边同样被左乘 $P$，变成 $PE=P$。所以通法为

$$\boxed{[A\mid E]\xrightarrow{\text{仅行变换}}[E\mid A^{-1}]}.\tag{2-7}$$

若左边无法化成 $E$，说明不可逆。算完可乘回去查是否为单位阵。注意只对左半边做运算、或把左半边做列变换却不说明，都会破坏这条原理。

来源：强化3·PDF第5—7页；强化4·PDF第1页。

核心概念与关键定理：秩数的是“真正留下几份独立信息”

看三列：

$$A=\begin{pmatrix}1&0&1\\0&1&1\\0&0&0\end{pmatrix}.$$

第3列就是前两列相加，没有提供新方向；前两列互相不能替代，所以真正独立的只有两列，秩应为2。对应的左上2阶子式为1，而所有3阶子式——这里就是整个行列式——为0。这给出秩的正式定义。

从 $m\times n$ 矩阵中任取 $k$ 行、$k$ 列交叉位置，形成的 $k$ 阶行列式叫 $k$ 阶子式。不是必须连续的行、列。最高阶非零子式的阶数，叫矩阵的秩 $r(A)$；零矩阵的秩单独定义为0。

$$\boxed{r(A)=\text{最高阶非零子式的阶数}}.\tag{2-8}$$

$$0\le r(A)\le\min(m,n),\qquad r(A)=0\iff A=O.$$

为什么子式能数独立信息？非零的 $r$ 阶子式说明所选的 $r$ 列，至少在这 $r$ 个分量中无法互相替代；若还能增加一个独立方向，消元就会产生第 $r+1$ 个主元，从而找到更高一阶的非零子式。第三章会把它统一成“矩阵秩=行向量组秩=列向量组秩”。二维的秩1像直线、秩2像平面；三维的秩1、2、3分别像直线、平面、三个独立方向。

求秩不用真的枚举子式，行消元数非零行即可。例如

$$\begin{pmatrix}1&2&3\\2&4&6\\0&1&1\end{pmatrix} \xrightarrow{r_2-2r_1}\begin{pmatrix}1&2&3\\0&0&0\\0&1&1\end{pmatrix}.$$

再交换第2、3行：

$$\longrightarrow\begin{pmatrix}1&2&3\\0&1&1\\0&0&0\end{pmatrix}.$$

这样的阶梯形有2个非零行，故秩2。主元是每个非零行最左侧的非零元；下一行的主元在上一行右侧。可逆的行列操作不会创造或丢掉独立信息，所以初等变换不改秩。

“行满秩”指 $r(A)=m$，“列满秩”指 $r(A)=n$。方阵二者才合为 $r(A)=n$。满秩意味着存在一个相应最高阶非零子式，不能改成所有最高阶子式都非零。例如 $\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&1\end{pmatrix}$ 行满秩，但取第2、3列的2阶子式为0。行满秩也不保证只用行变换就成为 $(E,O)$：行变换不能把原来的非零重复列直接变成零列。

来源：强化3·PDF第7—8页；强化4·PDF第3、11页。

核心概念：矩阵等价，就是能用初等行列变换互相变到

先看 $A=\operatorname{diag}(2,3)$：第1行乘 $1/2$、第2行乘 $1/3$，就变成 $E_2$。它们元素不同、行列式也不同，但都保留两个独立方向，秩相同。这类“经过有限次初等行变换和列变换能互相得到”的关系，叫矩阵等价。

若 $A,B$ 为同型矩阵，这个关系可以写为

$$B=PAQ\qquad(P,Q\text{分别可逆}).$$

左边的 $P$ 记录行变换，右边的 $Q$ 记录列变换，两边可以独立选择。因为每次都可倒回去，等价一定同秩。反过来，若两矩阵秩同为 $r$，都能消元成同一个标准形

$$\begin{pmatrix}E_r&O\\O&O\end{pmatrix},$$

上块 $E_r$ 是 $r$ 阶单位阵，其余尺寸由原矩阵的行、列数补齐。因此

$$\boxed{A\text{与}B\text{等价}\iff A,B\text{同型且 }r(A)=r(B)}.$$

注意这里允许同时使用行列变换；如果只准行变换，必须保持原列关系，不能仅凭秩相同就保证能变到。第五章的“相似”和第六章的“合同”会限制左右两个因子之间的关系，所以它们要保存的信息比等价更多。

来源：强化3·PDF第5—8、10页；矩阵等价为用户所给第二章考纲内容。

关键定理：可逆、满秩、无关、唯一解，其实在说同一件事

先看 $A=\operatorname{diag}(2,3)$：两列不重复，秩2，行列式6，有逆，而且任给右端 $\beta$ 都能唯一还原输入。再看 $B=\operatorname{diag}(1,0)$：少了一个方向，秩1，行列式0，不可逆，也无法对每个右端给出唯一输入。

一般 $n$ 阶方阵的等价条件应竖着读：

$$\boxed{\begin{aligned} A\text{可逆} &\iff |A|\ne0\\ &\iff r(A)=n\\ &\iff A\text{可行化简为 }E\\ &\iff A\text{的 }n\text{ 列线性无关}\\ &\iff Ax=0\text{只有零解}\\ &\iff \text{对每个}\beta,\ Ax=\beta\text{都有唯一解}. \end{aligned}}\tag{2-9}$$

“线性无关”将在第三章正式讲，就是没有一列能被其余列替代。“齐次方程只有零解”说任何非零输入都不会被压成零。每个条件都在表达“方向一个也没丢”，因此可以互相转换。现在见到抽象题不用只盯行列式：若条件容易作用到向量上，就设 $Ax=0$ 再逼出 $x=0$；若容易整理成乘积，就直接找逆。

例如 $A^2-A=2E$，改写成 $A(A-E)=2E$，便可验证

$$A^{-1}=\frac12(A-E).$$

这里允许除以2，因为它是非零标量；没有先把未知是否可逆的矩阵约掉。一般将等式整理为 $Ag(A)=cE$ 且 $c\ne0$，就能取 $A^{-1}=g(A)/c$。式中 $g(A)$ 是 $A$ 的多项式，它与 $A$ 交换，左右乘回去都成立。

来源：强化2·PDF第10页；强化3·PDF第8—9页。

通用方法：秩的公式集中在这里，先分清“和、积、拼接”

先看三个小例子：把同一直线上的列乘来乘去，不可能凭空得到第二个独立方向；把不同方向的两组列并排，可能补出新方向；把两个矩阵相加，则既可能补方向，也可能像 $A+(-A)=O$ 那样抵消。所以积用上界、拼接看增量、和要防抵消。

下表的乘法均要求尺寸相容，加法要求同型，$P,Q$ 为相应阶可逆矩阵。

注意 $(A,B)$ 表示按列横向拼接，不是矩阵相加。积的第二个上界可对 $AB$ 转置，再用 $B^TA^T$ 的列来自 $B^T$ 的列来证明。

积还有一个很有用的下界，叫西尔维斯特不等式。若 $A$ 有 $n$ 列、$B$ 有 $n$ 行，则

$$\boxed{r(A)+r(B)-n\le r(AB)\le\min\{r(A),r(B)\}}.\tag{2-10}$$

先读一个具体数值：中间尺寸 $n=3$，若两边秩都是2，则 $1\le r(AB)\le2$；不能直接断定积也是2。为什么至少剩1？$A$ 只有 $3-2=1$ 个独立的“会被消掉的输入方向”，而 $B$ 产生了2个独立方向，最多有1个被消掉，至少还留1个。一般的损失至多 $n-r(A)$，所以积至少留下 $r(B)-(n-r(A))$ 个方向。第四章会从自由变量正式解释这里的 $n-r(A)$。

继续看：不用抽象空间术语，证明西尔维斯特下界

设 $r(B)=s$。通过可逆的行列消元，能把 $B$ 化成左上为 $E_s$、其余为零的标准形，记为 $PBQ=J$。于是 $B=P^{-1}JQ^{-1}$。左右可逆因子不改秩，故 $r(AB)=r(AP^{-1}J)$。

把 $AP^{-1}$ 的列分成前 $s$ 列 $C$ 和其余 $n-s$ 列 $D$。乘 $J$ 只保留 $C$、其余补零，因此 $r(AB)=r(C)$。同时

$$r(A)=r(C,D)\le r(C)+r(D)\le r(AB)+(n-s).$$

移项即得到式 (2-10)。这里每一步只用了可逆乘不变秩、拼接上界、列数限制，没有把矩阵因子随意约掉。

见到乘积为零，马上使用它的特殊形式。若 $AB=O$，则 $r(AB)=0$，式 (2-10) 给出

$$\boxed{AB=O\ \Longrightarrow\ r(A)+r(B)\le n}.\tag{2-11}$$

这里 $n$ 仍是相乘的中间尺寸。几何上，$B$ 提供的独立方向必须全部落进 $A$ 能消掉的方向中。若 $A$ 列满秩，它一个非零方向也不消掉，就迫使 $B=O$；若 $B$ 行满秩，则迫使 $A=O$。例如 $AB=B$ 可写为 $(A-E)B=O$，当 $B$ 行满秩时，便有 $A=E$。

若出现外积之和，每项秩至多1。例如 $A=\alpha_1\beta_1^T+\alpha_2\beta_2^T$，则 $r(A)\le2$；一般 $k$ 个外积之和秩至多 $k$。这是把“和的上界”与后面的秩1模型连用。

来源：强化3·PDF第8—10页。

通用方法：上下夹逼，把秩的不等式逼成等式

讲义例 $A^2-A=2E$，目标是求 $r(A-2E)+r(A+E)$。先把多项式因式分解：

$$(A-2E)(A+E)=O.$$

因为乘积为零，由式 (2-11) 得秩和 $\le n$。另一方面，两因子相减正好是可逆的 $3E$：

$$(A+E)-(A-2E)=3E.$$

由和的秩上界，$n=r(3E)\le r(A+E)+r(A-2E)$。两头夹住后，只可能

$$\boxed{r(A-2E)+r(A+E)=n}.\tag{2-12}$$

为什么想到夹逼？乘积为零给出一个秩和的上界，差是单位阵的非零倍数又给出同一个秩和的下界。两个信息正好配对。不能把 $A-2E$ 或 $A+E$ 约掉，它们可能不可逆。

另一个讲义入口是 $A(A-A^*)=O$：先用式 (2-11) 得 $r(A)+r(A-A^*)\le n$，再按 $r(A)$ 的不同情况使用伴随秩规则；这比直接设元素计算更短。

来源：强化3·PDF第8—9页。

继续看：三个因子的秩之和，为什么能连续夹逼

讲义的2025年真题条件：$A,B,C$ 为 $n$ 阶方阵，且

$$r(A)+r(B)+r(C)=r(ABC)+2n.$$

看到“3个单因子、1个三因子、差了 $2n$”，要想到式 (2-10) 可以用两次：

$$r(ABC)\ge r(AB)+r(C)-n.$$

$$r(AB)+r(C)-n\ge r(A)+r(B)+r(C)-2n.$$

而最后一项由已知条件恰好等于 $r(ABC)$。首尾相等，中间的每个不等号都只能取等号，所以

$$r(ABC)+n=r(AB)+r(C).$$

$$r(AB)+n=r(A)+r(B).$$

也可从 $A(BC)$ 开始，得到另一组等式。这个条件并不迫使三个矩阵都满秩：例如 $A=\operatorname{diag}(1,0)$、$B=C=E_2$，原条件成立，但 $r(A)=1$。

来源：强化4·PDF第2页。

关键定理：满秩时怎样消去，转置乘积为什么不降秩

先看列满秩的例子 $P=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\\0&0\end{pmatrix}$。它只在输入后面补一个0，原输入能完整读回来，所以不会让别的矩阵掉秩。一般条件与方向为

$$P\text{列满秩}\ \Longrightarrow\ r(PA)=r(A).$$

$$P\text{行满秩}\ \Longrightarrow\ r(AP)=r(A).$$

第一条也可由式 (2-10) 直接证明：若 $P$ 有 $n$ 列且 $r(P)=n$，积的上下界都等于 $r(A)$；第二条对转置使用第一条。因而

$$PA=PB\Rightarrow A=B\qquad(P\text{列满秩}).$$

$$AP=BP\Rightarrow A=B\qquad(P\text{行满秩}).$$

证明先移项，如 $P(A-B)=O$，再用保持秩得 $r(A-B)=0$。左侧因子要列满秩，右侧因子要行满秩，不能对调。同阶方阵 $AB=E$ 时，积上界迫使 $A,B$ 均满秩，故均可逆，再推出 $BA=E$，这补全了本章的一侧逆结论。

还有一条转置乘积的重点结论，仅对本课的实矩阵使用：

$$\boxed{r(A^TA)=r(AA^T)=r(A)}.\tag{2-13}$$

先用二维看理由：若 $A^TAx=0$，左乘 $x^T$ 后得到 $x^TA^TAx=0$；而这个数就是 $Ax$ 各分量的平方和。实数平方都非负，和为0只能每个分量都是0，所以 $Ax=0$。反向显然。于是两组齐次方程解完全相同，方程组章会说明同未知数个数时秩相同。$AA^T$ 那条对 $A^T$ 再用一次即可。

记号 $\|Ax\|^2$ 就表示“$Ax$ 各分量的平方和”，第五章正式讲向量长度时再用。这里的论证依赖实数，不能删掉“实矩阵”条件。

来源：强化3·PDF第8—10页。

关键定理：伴随矩阵的秩，连接子式、消元与方程组

先看三阶的三个例子。$A=E_3$ 时，$A^*=E_3$，秩3；$A=\operatorname{diag}(1,1,0)$ 时，$A^*=\operatorname{diag}(0,0,1)$，秩1；$A=\operatorname{diag}(1,0,0)$ 时，每个二阶余子式都为0，伴随为零矩阵。

因此对 $n\ge2$ 的方阵，只有三种情况：

$$\boxed{r(A^*)=\begin{cases} n,&r(A)=n,\\ 1,&r(A)=n-1,\\ 0,&r(A)\le n-2. \end{cases}}\tag{2-14}$$

为什么？满秩时 $A^*=|A|A^{-1}$ 可逆；秩至多 $n-2$ 时，所有 $(n-1)$ 阶余子式为0，故伴随为零。中间情形至少一个 $(n-1)$ 阶余子式非零，所以 $A^*\ne O$；而 $AA^*=O$ 与式 (2-11) 给出 $r(A^*)\le1$，于是恰为1。

这条推导只用本章已讲过的子式与秩不等式。第四章还会从“$Ax=0$ 只有一个独立自由方向”再解释它。

来源：强化3·PDF第8页。

重点模型：秩1矩阵，很多列其实只是一列的倍数

例如

$$A=\begin{pmatrix}1&2&-1\\3&6&-3\end{pmatrix}.$$

取 $\alpha=(1,3)^T$、$\beta=(1,2,-1)^T$，便有 $A=\alpha\beta^T$：第1列是 $1\alpha$，第2列是 $2\alpha$，第3列是 $-\alpha$。因此只有1个独立方向。

一般地，任意 $m\times n$ 矩阵满足

$$\boxed{r(A)=1\iff A=\alpha\beta^T,\quad\alpha\ne0,\ \beta\ne0}.\tag{2-15}$$

其中 $\alpha$ 有 $m$ 个分量、$\beta$ 有 $n$ 个分量。正向：取一列非零列 $\alpha$，其他列只能是它的倍数，把倍数收进 $\beta^T$；反向：每列都是 $\alpha$ 的倍数，且矩阵非零，秩恰为1。

外积 $\alpha\beta^T$ 是矩阵；只有两向量同维，$\beta^T\alpha$ 才有定义并是一个数，别混淆。若 $A$ 为秩1方阵，令 $t=\beta^T\alpha$。三维时就是 $t=\beta_1\alpha_1+\beta_2\alpha_2+\beta_3\alpha_3$，也正好是 $A$ 的对角和，所以 $t=\operatorname{tr}A$。结合律给出

$$A^2=\alpha(\beta^T\alpha)\beta^T=tA.$$

再反复乘 $A$，得到

$$\boxed{A^k=t^{k-1}A\qquad(k\ge2)}.\tag{2-16}$$

例如 $A=\begin{pmatrix}1&2\\2&4\end{pmatrix}$，$t=5$，所以 $A^3=25A$。若 $t=0$，则 $A^2=O$，一切 $k\ge2$ 的幂都为零矩阵；$k=1$ 直接用 $A$，不需要解释 $0^0$。

秩1矩阵的特征值为 $t,0,\ldots,0$；$t\ne0$ 时可对角化，$t=0$ 时不可对角化。现在先把它作为后章的交叉索引，第五章会从方程与重数证明，不能把“秩1”直接背成“一定可对角化”。若求 $|aE-A^k|$，学完第五章后可利用这一组特征值处理，避免直接展开高阶行列式。

还有讲义常见的单位列向量 $\alpha$，所谓“单位”指各分量平方和为1，即 $\alpha^T\alpha=1$。所以 $P=\alpha\alpha^T$ 满足 $P^2=P$，作用为 $Px=\alpha(\alpha^Tx)$，只保留沿 $\alpha$ 的分量；$P\alpha=\alpha$，从而 $(E-P)\alpha=0$，而 $\alpha\ne0$，所以 $E-P$ 必不可逆。它的特征值 $1,0,\ldots,0$ 也在第五章统一解释。

来源：强化3·PDF第1—4页。

典型题型：方幂按结构选方法，别从头硬乘

先看 $A=\begin{pmatrix}c&1\\0&c\end{pmatrix}$。它可拆成 $cE+N$，其中

$$N=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix},\qquad N^2=O.$$

因为 $cE$ 与 $N$ 交换，展开 $A^k=(cE+N)^k$ 后，含 $N^2,N^3,\ldots$ 的项全消掉。$c\ne0$ 时

$$A^k=c^kE+kc^{k-1}N\qquad(k\ge1).$$

若 $c=0$，直接按 $k=1$ 为 $N$、$k\ge2$ 为 $O$ 处理。一般 $N^s=O$ 叫幂零，二项式只须保留到 $N^{s-1}$。例如 $N^3=O$ 时，$k\ge2$ 且 $c\ne0$ 有

$$(cE+N)^k=c^kE+kc^{k-1}N+\frac{k(k-1)}2c^{k-2}N^2.$$

严格上三角的“上移矩阵”是典型幂零例：3阶的 $N=\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}$，$N^2$ 只在右上角为1，$N^3=O$。这只是矩阵乘法，不需引入超纲的若尔当标准形。

做方幂按下列顺序检查：

1. 是否秩1？先用式 (2-16)。
2. 是否对角或分块对角？每块分别乘方。
3. 是否 $cE+N$ 且 $N$ 很快幂零？可交换后用有限二项式。
4. 低次幂能否给递推？如 $A^2=cA$，则 $A^k=c^{k-1}A$；如 $A^2=uA+vE$，高次幂都能递推成 $a_kA+b_kE$。算几项只是找线索，还需乘回原关系或归纳证明。
5. 是否可对角化？第五章学完后用 $A=P\Lambda P^{-1}$，从而 $A^k=P\Lambda^kP^{-1}$。

来源：强化3·PDF第2—4页。

继续看：分块矩阵的乘法、秩与“能消掉”和“不能消掉”的区别

分块只是划线，块里仍是矩阵。块乘法要求切分尺寸相容，乘积的顺序不得换。块行倍加用左乘，块列倍加用右乘；若要倍乘一个整块行，所乘方阵应可逆，才保证不改秩。倍加本身只要求尺寸相容。

先看最容易理解的一组：$A=\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}$、$B=(3)$ 时，$(A,AB)$ 的第2列就是第1列的3倍，添上它不添新方向。一般同理：

$$\boxed{r(A,AB)=r(A)}.\tag{2-17}$$

对第二块列做“减去第一块列右乘 $B$”，就成为 $(A,O)$。纵拼接对应为

$$r\begin{pmatrix}A\\BA\end{pmatrix}=r(A),$$

这次要让第二块行减去“$B$ 左乘第一块行”。横拼接里误写成 $(A,BA)$ 一般不成立；顺序是结构的一部分。

块对角的两块各自提供独立信息，因此

$$r\begin{pmatrix}A&O\\O&B\end{pmatrix}=r(A)+r(B).$$

块三角则一般只有下界

$$r\begin{pmatrix}A&C\\O&B\end{pmatrix}\ge r(A)+r(B).$$

为什么不能总取等号？取 $A=B=(0)$、$C=(1)$，总矩阵秩1，但对角块秩和为0。上面的非对角块自己可能提供额外信息。

能取等号时，关键是说明怎样合法消掉它。讲义例：

$$M=\begin{pmatrix}A&AB\\O&A^T\end{pmatrix}.$$

第二块列减第一块列右乘 $B$，得到 $\operatorname{diag}(A,A^T)$，所以 $r(M)=2r(A)$。而

$$N=\begin{pmatrix}A&BA\\O&AA^T\end{pmatrix}$$

右上是 $BA$，同样的块列动作只能减去 $AB$，未必能消去 $BA$，不能直接说其秩是 $2r(A)$。实矩阵时可用式 (2-13) 给对角块秩和的下界，但仍需检查非对角块。

来源：强化3·PDF第10—11页。

继续看：有单位块时怎样消元，讲义 ABC=O 三块秩比较完整示范

设 $A,B,C$ 是 $n$ 阶方阵，满足 $ABC=O$。讲义要求比较

$$M_1=\begin{pmatrix}O&A\\BC&E\end{pmatrix}.$$

$$M_2=\begin{pmatrix}AB&C\\O&E\end{pmatrix}.$$

$$M_3=\begin{pmatrix}E&AB\\AB&O\end{pmatrix}.$$

先处理 $M_1$。上块行减去 $A$ 左乘下块行，因 $ABC=O$，得到

$$M_1\longrightarrow\begin{pmatrix}O&O\\BC&E\end{pmatrix}.$$

再将左块列减右块列右乘 $BC$：

$$\longrightarrow\begin{pmatrix}O&O\\O&E\end{pmatrix}.$$

所以 $r(M_1)=n$。

再处理 $M_2$。上块行减去 $C$ 左乘下块行，得到 $\operatorname{diag}(AB,E)$，所以 $r(M_2)=n+r(AB)$。

最后处理 $M_3$。下块行减去 $AB$ 左乘上块行：

$$M_3\longrightarrow\begin{pmatrix}E&AB\\O&-(AB)^2\end{pmatrix}.$$

右块列减左块列右乘 $AB$：

$$\longrightarrow\begin{pmatrix}E&O\\O&-(AB)^2\end{pmatrix}.$$

所以 $r(M_3)=n+r((AB)^2)$。由 $0\le r((AB)^2)\le r(AB)$ 得到

$$\boxed{r(M_1)\le r(M_3)\le r(M_2)}.\tag{2-18}$$

为什么一看单位块就想消元？它不用求逆，能直接消掉同一块行或块列上的任意矩阵。这组例子保留了讲义的整个思路：先分别化成块对角 → 写出精确秩 → 再用积的秩上界比较，而不是凭图形直接比大小。

来源：强化3·PDF第11—12页。

继续看：四种分块逆与分块伴随，公式顺序从乘回去确定

先看普通上三角二阶 $\begin{pmatrix}a&c\\0&b\end{pmatrix}$，求逆时先把对角变成1，再消去右上角。换成方阵块 $A,B$，仍是同一思路，只要 $A,B$ 均可逆：

$$\begin{pmatrix}A&C\\O&B\end{pmatrix}^{-1} =\begin{pmatrix}A^{-1}&-A^{-1}CB^{-1}\\O&B^{-1}\end{pmatrix}.$$

例如右上角未知块 $X$ 必须满足 $AX+CB^{-1}=O$，因此 $X=-A^{-1}CB^{-1}$，顺序由这个方程决定。另三种分别为

$$\begin{pmatrix}A&O\\C&B\end{pmatrix}^{-1} =\begin{pmatrix}A^{-1}&O\\-B^{-1}CA^{-1}&B^{-1}\end{pmatrix}.$$

$$\begin{pmatrix}A&O\\O&B\end{pmatrix}^{-1} =\begin{pmatrix}A^{-1}&O\\O&B^{-1}\end{pmatrix}.$$

$$\begin{pmatrix}O&A\\B&O\end{pmatrix}^{-1} =\begin{pmatrix}O&B^{-1}\\A^{-1}&O\end{pmatrix}.$$

每个都可按块乘回 $E$ 核对。分块伴随不是给每一块分别加星号：整体 $M$ 可逆时，统一使用 $M^*=|M|M^{-1}$。

讲义的一例是 $M=\begin{pmatrix}A&E\\O&B\end{pmatrix}$，其中 $A,B$ 均可逆。$|M|=|A||B|$，于是

$$M^*=\begin{pmatrix}|B|A^*&-A^*B^*\\O&|A|B^*\end{pmatrix}.$$

右上块来自 $-|A||B|A^{-1}B^{-1}=-A^*B^*$，既解释符号，也解释次序。可由逆公式、伴随公式一步步代入，没必要再背一张新表。

来源：强化1·PDF第9—10页；强化4·PDF第1—2页。

通用方法：抽象矩阵等式，先保住乘法次序

具体数表求逆，优先用式 (2-7)；给出多项式条件，优先整理成 $Ag(A)=cE$。矩阵方程也不能把未知量“挪来挪去”当除法：

$$AX=B\quad\Rightarrow\quad X=A^{-1}B\qquad(A\text{可逆}).$$

$$XA=B\quad\Rightarrow\quad X=BA^{-1}\qquad(A\text{可逆}).$$

$$AXB=C\quad\Rightarrow\quad X=A^{-1}CB^{-1}\qquad(A,B\text{可逆}).$$

每一步说清在哪一侧乘逆，才能消去相邻的因子。

抽象行列式题也常需先制造乘积。讲义恒等式在 $A,B$ 可逆时为

$$A+B^{-1}=B^{-1}(A^{-1}+B)A.$$

不要只凭眼睛相信，展开右边：第一项 $B^{-1}A^{-1}A=B^{-1}$，第二项 $B^{-1}BA=A$，所以相等。之后才可取行列式，把乘积拆开。这就是“加法难拆，先改写为乘法”的具体操作。

若列组合构成 $B=AC$，系数向量要按列放入 $C$；若列组构成可逆 $P$ 且 $AP=PB$，取行列式后才可由 $|P|\ne0$ 约去标量 $|P|$。这里不会推出 $A=B$：要消去中间的 $P$，正确结论是 $P^{-1}AP=B$，第五章正式讲相似。

来源：强化2·PDF第5—8页；矩阵方程联系第四章。

章末公式速查：转置、伴随、逆，先检查条件再套

下表 $A,B$ 为同阶 $n$ 阶方阵；出现逆的矩阵均须可逆。伴随公式按 $n\ge2$ 使用。表格只用来查阅，前面已经解释过转置、伴随为何要反序。

连续伴随的公式为

$$(A^*)^*=|A|^{n-2}A\qquad(n\ge3).$$

二阶直接有 $(A^*)^*=A$，无论 $A$ 是否可逆。混合公式分别为

$$(A^T)^{-1}=(A^{-1})^T.$$

$$(A^*)^T=(A^T)^*.$$

$$(A^*)^{-1}=(A^{-1})^*\qquad(A\text{可逆}).$$

可逆方阵的幂还有 $(A^k)^{-1}=(A^{-1})^k$，因此可记 $A^{-k}=(A^{-1})^k$（$k$ 为正整数）。这来自乘积求逆反序，但每个因子都是同一个 $A$，反过来顺序并无区别。

为什么逆乘积要反序？$(AB)(B^{-1}A^{-1})=A(BB^{-1})A^{-1}=E$，就是让成对因子挨在一起。为什么伴随数乘是 $n-1$ 次方？每个代数余子式由 $n-1$ 行组成，每行都提一次 $k$。二阶余子式仅含一个元素，所以二阶的伴随可对加法拆开，一般高阶不行。

伴随乘积公式适用于不可逆矩阵，并不因一种证明使用 $A^*=|A|A^{-1}$ 就自动多出“可逆”限制。它也可以直接从余子式展开证明；相应恒等式是矩阵元素的多项式等式。连续伴随也可由余子式得到，不能为了使用公式而预先假设所有矩阵可逆。

行列式的配套速查为

$$|AB|=|A||B|,\qquad |kA|=k^n|A|.$$

$$|A^{-1}|=|A|^{-1}\qquad(A\text{可逆}).$$

$$|A^*|=|A|^{n-1}\qquad(n\ge2).$$

其中 $|AB|=|A||B|$ 是矩阵乘法与行列式之间的接口，既可从按列线性展开证明，也可理解为两次有向面积或体积缩放相乘；但矩阵相加没有这种接口。迹、行列式与特征值的公式统一放到第五章，不在这里提前使用。

来源：强化2·PDF第5、11页。

顺着背的一条链。输入先按列加权得到式 (2-1)，接着用“连续两次运算”理解乘法式 (2-2)，所以乘积转置与求逆都要反序。想统一还原输入，就找逆；余子式同配、错配恰好组成式 (2-4)，于是行列式非零才可按式 (2-6) 求逆。具体计算改用可逆的初等行变换，得到增广求逆式 (2-7)；若不能化成单位阵，就用秩数还留几份信息，接上等价与式 (2-9)。积不会增加信息，先背式 (2-10) 的上下界；积为零再特化为式 (2-11)，配可逆和差做夹逼。伴随由余子式组成，所以按最高非零子式阶数得到式 (2-14)；秩1再写成外积，用结合律马上推出方幂式 (2-16)。整条链里，凡除以标量先查非零，凡约矩阵先查可逆或正确方向的满秩。

与前后章的联系与题型步骤

本章把“怎么运算、怎么消元、怎样判断丢了几份信息”安排好了。但 $Ax=\beta$ 为什么等于“用列向量拼出 $\beta$”？哪些列重复、怎样找出一组不重复又够用的列？下一章把矩阵的每一列拿出来研究，正式进入向量的线性表出与线性相关。